“Pi is an infinite, nonrepeating decimal – meaning that every possible number combination exists somewhere in pi. Converted into ASCII text, somewhere in that infinite string of digits is the name of every person you will ever love, the date, time, and manner of your death, and the answers to all the great questions of the universe. Converted into a bitmap, somewhere in that infinite string of digits is a pixel-perfect representation of the first thing you saw on this earth, the last thing you will see before your life leaves you, and all the moments, momentous and mundaane, that will occur between those two points.”

All information that has ever existed or will ever exist, the DNA of every being in the universe, EVERYTHING: all contained in the ratio of a circumference and a diameter.”

From what I can tell, this meme comes from Redditor kenfoldsfive’s answer to the question, “Reddit, what’s the most mind-blowing sentence you can think of?” It’s been bouncing around the Internet for several months now and got a little boost recently when George Takei’s Facebook page shared it with nearly 4 million followers earlier this month. It certainly is a mind-blowing idea! Infinity is always hard for our puny finite brains to handle, and I admit that the vastness of irrational numbers blows my mind whenever I accidentally think about it for too long. We’re talking about a number that encodes not only my life story, but also a version in which my fly wasn’t down the first time I taught a class.

The only problem is, it isn’t true. Or, it’s probably true, but we don’t know for sure, and get off my lawn. At least that’s what the Huffington Post said last week. (On Tuesday it posted a more cheerful story about pi with some interesting illustrations.) The article makes some good points, but I think it misses the forest for the trees. If you look at it the right way, pi really does have it all.

The sticking point is the first assertion of the meme: Does pi contain every possible finite combination of digits? All irrational numbers, including pi, have infinite, nonrepeating decimal representations, but this is not enough to ensure that they include all strings. For example, 0.1010010001 … is a perfectly acceptable irrational number, and it never even includes the digit 2.

In an edit to the original post, kenfoldsfive notes that the statement is true if pi is a “normal number,” meaning that every finite string occurs with exactly the frequency you’d expect if the digits were random. For example, 10 percent of digits are 1s, 10 percent are 2s, and so on. (This is for numbers written in base 10. Normality can be defined for binary, hexadecimal, or any other base.) In 1909, mathematician Émile Borel proved that “almost every” real number is normal. The mathematical meaning of “almost every” is more extreme than the typical English meaning. Borel showed that there is basically a 0 percent chance that if you pick a real number truly randomly, you’ll get one that isn’t normal.

For this reason and analysis of the first few trillion digits of pi, most people who care about such things believe that pi is indeed normal. There’s no reason to think it isn’t, except that no one has proved it yet. There’s a lot we don’t know about pi. After all, we only know 10 trillion digits of it, a mere speck in the grand scheme of things. We don’t even know whether every digit appears infinitely often. Maybe there are only 101,000 7s.

But the focus on whether or not pi is normal misses an interesting question: Exactly how would we translate an irrational number into a bunch of text? At its heart, the meme is saying that there is something essentially infinite about irrationality that can be used to represent everything contained in our finite world. And that’s right, if you choose your “code” correctly.

The meme suggests ASCII, a method of rendering characters using either seven or eight binary digits. (There is a decimal version as well.) Ignoring some technical details about how ASCII is really implemented, let’s pretend that every two-digit combination from 00 to 99 encodes a different letter, number, space, or punctuation mark. Then we just go through the digits of pi two at a time and get some string of symbols out. If pi is normal, your life story is in there somewhere.

But there’s nothing essential about this method of coding. My friend David Ralston at the mathematics department of SUNY Old Westbury, told me about a different way to extract text from numbers.

Let’s say you want to find your life story in pi. We’ll assume your life story isn’t going to take up more room than the Bible, around 3.5 million characters in English, according to this guy’s grandfather. Close enough for me. (You can pick any upper limit to the number of characters you think you’ll need; the process can handle any number.) Now you need to make a list of all possible words that are no more than 3.5 million characters long. I’d recommend writing all the one-letter words first, followed by all the two-letter words, and so on, using alphabetical order at each step. This gives you some huge but still finite list of possible words—let’s say K is the number of them.

What we need now is a way to assign each word on this list to a unique chunk of information that appears in pi. In other words, we need to find at least K distinct “things” in the number pi. To do this, we exploit the fact that for any irrational number, there are at least K+1 distinct strings that are K digits long. For example, if you look for strings that are two digits long in the irrational number 0.101001000100001 … , you will find three strings: 10, 01, and 00. For strings of three digits, you will find at least four examples.

Using this fact, we look at the digits of pi in chunks of length K. To the first chunk, assign the first word on your list. To the second distinct chunk (which may overlap with the first; that’s OK), assign the second word, and so on. We “only” have K words on our list, and we have at least K+1 distinct blocks of length K, so we’ll run out of words before we run out of blocks. If we have more distinct blocks than we have words on our list (we will), we can just start over at the beginning of our list of words. There’s nothing wrong with encoding the same word twice. That will happen anyway because some K-digit blocks will show up multiple (and even infinitely many) times.

This process is not as straightforward as ASCII coding, but for any given irrational number, it gives us all possible strings up to some finite length. It might feel like cheating because we’ve specified what we want to find. But I think it’s like finding a needle in a haystack: It’s not going to happen if you’re not looking for needles. And there is no upper limit to how long the things on your list can be, Ralston wrote in an email. It could be, “for example, all strings whose length is not larger than the number of elementary particles in the observable universe, which is (I think) a reasonable restriction to place on ‘all possible words,’ and includes the binary code for a very high-resolution JPEG of that awkward moment from your senior prom.”

We don’t know for sure that pi contains all possible strings of decimal digits, but on a deeper level, the meme is right. And if it gets you pondering the mysteries of infinity, so much the better. You won’t be alone. The idea that monkeys sitting at a typewriter would eventually produce the complete works of Shakespeare has been around for decades. To continue bending your mind, I recommend these variations on the theme. Jorge Luis Borges explores the darker side of the concept in his short story The Library of Babel, and the always entertaining Vi Hart’s video for Pi Day 2012 tackles the question, “Are Shakespeare’s Plays Encoded in Pi?” Enjoy!

By Evelyn Lamb| posted on SLATE, April 17th

n-tv.de: Herr Schütte, sind Würfelspiele wirklich vom Zufall abhängig? Oder spielen beim Fall eines Würfels einfach zu viele Faktoren eine Rolle, als dass wir das Ergebnis beeinflussen könnten?

Christof Schütte: Das kommt darauf an, was man unter Zufall versteht. Es stimmt, dass man normalerweise zumindest die Hoffnung haben könnte, den Fall eines Würfels voraussagen zu können, wenn einem nur genug Messungen und Informationen zur Verfügung ständen. Aber in Normalsituationen kann man sich all die notwendigen Informationen nicht beschaffen. Deswegen kommt man lieber auf eine einfachere Beschreibung zurück: auf den Zufall. Da Experimente ergeben, dass es sehr stark gleich verteilt ist, welche Augenzahl der Würfel zeigt, erstellt man in der Mathematik ein sogenanntes Zufallsmodell. Dort notiert man, dass jede Augenzahl gleich wahrscheinlich auftaucht. Das ist also eigentlich nur ein Hilfsmittel, das eine sehr komplizierte Umwelt auf etwas sehr Einfaches zurückführt.

Anders gesagt: Das, was wir Zufall nennen, ist mitunter nichts anderes als Unwissen?

Die Vorstellung, dass man den Würfel und seinen Fall vollständig beschreiben und daher auch vorhersagen kann, geht auf den Laplaceschen Dämon zurück. In der Mathematik aber gibt es die Chaostheorie, und …

Ein Dämon? Was hat es mit dem auf sich?

Laplace war ein französischer Mathematiker und Astronom, der 1814 einen philosophischen Essay über die Wahrscheinlichkeit veröffentlichte. Darin spricht er – stark verkürzt – von einer “Intelligenz”, die “alle Kräfte kennt, mit denen die Welt begabt ist” und der “nichts ungewiss wäre”. Diese Intelligenz wurde später als Laplacescher Dämon bezeichnet.

Welchen Platz nun nimmt dieser Dämon im Würfelspiel ein?

Er besagt: Angenommen, man kennt alle Bedingungen perfekt, dann kann man voraussagen, was wirklich geschieht. Das heißt, das System, um das ich mich kümmere, hat die Eigenschaft, immer dasselbe zu tun, sofern alle Bedingungen gleich bleiben. Bei einigen solcher Systeme aber kann man nachweisen, dass das System bei allerkleinsten Änderungen etwas völlig anderes macht. Dieses “völlig andere” gehorcht einer gewissen Verteilung. Was rauskommen kann bei kleinsten Abweichungen, kann man daher mit Wahrscheinlichkeiten charakterisieren.
Die kleinsten Änderungen können beim Würfelspiel schon ein kleiner Lufthauch oder ein Stäubchen auf der Tischplatte sein. Deswegen sagt man aus mathematischer Sicht: Diese Vorstellung, dass man bei Kenntnis aller Informationen weiß, was passieren wird, diese Vorstellung kann man zwar im Prinzip haben, aber man kann nie alles so genau wissen, dass dieser Satz tatsächlich angewendet werden kann. Daher benutzt man die sehr viel einfachere Beschreibung mit dem Wort “Zufall”.

Gehorcht auch das Wetter diesem Zufallsprinzip?

Ja. Beim Wetter kann man den Anfangszustand nicht genau genug messen, um es über viele Tage voraussagen zu können. Auch das Wetter ist ein chaotisches System. Kleine Abweichungen von den Anfangsbedingungen – ungenaue, falsche Messungen – können nach drei bis vier Tagen völlig verschiedene Szenarien ergeben.

Mal ganz grundsätzlich: Woher wissen wir, dass es sich bei einem bestimmten Ereignis tatsächlich um einen Zufall handelt?

Ein Mathematiker würde nie sagen: “Das IST Zufall.” Denn Zufall gibt es ja vielleicht gar nicht. Ein Mathematiker würde bei bestimmten Systemen sagen: “Das kann man mit einem Zufallsexperiment gut beschreiben.” Dem Mathematiker geht es nämlich nur darum, das, was passiert, korrekt zu beschreiben. Und beschreiben können wir bestimmte Systeme mit dem Zufall, auch wenn es vielleicht gar kein Zufall ist.

Wie steht es ums Lotto?

… ist vielleicht auch gar kein Zufall. Wenn ich die Position aller Kugeln ganz genau kennen würde und jede kleinste Unebenheit in der Oberfläche der Maschine, dann könnte ich tatsächlich voraussagen, wie diese ganzen Kugeln am Ende rotieren, und wenn ich dann weiß, wann eingegriffen wird, weiß ich, welche Kugel gezogen wird. Aber niemand wird das ernsthaft versuchen wollen, auch weil das sicher ebenfalls ein chaotisches System ist …

Glücksspiele würden ohne Zufallselement stark an Reiz verlieren. Und dennoch wünscht man sich oft genug, man könnte den Zufall austricksen. Haben Sie als Mathematiker da einen Tipp?

Ja, mit Mathematik kann man in Zufallsszenarien einiges machen. Zum Pokern beispielsweise gibt es ausgearbeitete mathematische Theorien, die man relativ einfach nachvollziehen kann, wenn man ein bisschen was von dem Spiel versteht. Es geht darum, zu erkennen, wann man am besten mit dem Weiterbieten aufhören sollte. Für Mathematiker ist das ein optimales Stoppzeiten-Problem. Und ein solches gibt es nicht nur beim Poker, sondern zum Beispiel auch in der Aids-Therapie. Damit beschäftigen wir uns hier am Institut.

Auch in der Aids-Therapie spielen der Zufall und seine mathematische Beherrschbarkeit eine Rolle?

In dem einen Fall sind Sie der Pokerspieler, Ihnen gegenüber sitzt ein anderer Pokerspieler. In dem anderen Fall sind die Viren Ihr Gegner. Sie wissen nicht genau, was die machen. Und beim Poker wie bei der Virenbekämpfung wollen Sie als Sieger vom Tisch gehen.

Heutzutage bekommt jemand, der HIV-infiziert ist, ein Medikamenten-Cocktail, der den Typ Virus, den er hat, ziemlich gut unterdrücken kann. Gleichzeitig bilden sich Resistenzen gegen dieses Medikament. Die resistenten Viren werden von den Medikamenten nicht mehr bekämpft. Sie können sich teilweise in Zellen verstecken, wo sie von dem Medikament nicht mehr erreicht werden. Nach einer gewissen Zeit kommen sie wieder raus aus dem Versteck und überschwemmen dann den gesamten Organismus. Man muss also einen Zeitpunkt finden, an dem man von dem ersten Medikamenten-Cocktail auf einen anderen wechselt, bevor die resistenten Viren so zahlreich geworden sind, dass sie unkontrollierbar werden. Damit will man allerdings möglichst lange warten, denn es stehen nur endlich viele Medikamenten-Cocktails zur Verfügung. Man muss das Maximale aus dem ersten Medikament herausquetschen. Das ist das Stoppzeiten-Problem. Die Verbreitung eines Virus im Körper ist ein Zufallsprozess. Ob ein Virus mutiert oder nicht, lässt sich sehr gut durch ein Zufallsexperiment beschreiben. Die Medikamentengabe ist eine äußere Kontrolle, die man auf den Zufallsprozess Virusmutation ausübt.

Mathematisch lässt sich also ermitteln, wann man eingreifen muss, um bestimmte zufallsgeprägte Entwicklungen zu vermeiden?

Nicht nur das. Es lässt sich in anderen Situationen auch ermitteln, wann der vom Zufall abhängige erwartete Gewinn am größten ist. Ein typisches Beispiel aus Lehrbüchern: Sie haben eine große Waldfläche, von der Sie wissen, wie schnell Ihre Bäume im Durchschnitt wachsen. Wie schnell Ihre Bäume jedoch tatsächlich wachsen, hängt von vielen Zufällen ab. Vom Wetter, von Mineralverteilungen im Boden etc. Das lässt sich nicht alles in allen Details erfassen. Das bedeutet, Sie haben ein Zufallsmodell, wie schnell Ihr Wald wächst. Sie wollen ihn irgendwann abholzen, aber wann ist der optimale Zeitpunkt, auch bezogen auf den Holzpreis? Auch der fluktuiert zufällig. Und wann pflanzen Sie neue Bäume? Ziel ist immer der maximale Gewinn über eine lange Zeit. Das ist eine typische Fragestellung, und sie lässt sich mathematisch lösen. Übrigens lässt sie sich auf Stromnetze übertragen, wo der Zufallsprozess darin besteht, dass man nicht genau weiß, wie viele Kunden wann wie viel Strom entnehmen. Oder auf Gasnetze. Es gibt zahlreiche Probleme der so genannten stochastischen Optimierung, wo Sie in einem Zufallsumfeld entscheiden wollen, welche Strategie die beste ist, um ein Ziel zu optimieren.

Nachdem wir so viel über den Zufall gesprochen haben: Was hält ein Mathematiker vom Schicksal?

Da kommen wir wieder auf den Anfang des Gesprächs zurück. Der Begriff des Schicksals ist der Begriff der Vorherbestimmtheit, des Determinismus: Würden Sie alles kennen, wüssten Sie, was passiert. Die Eigenschaft von mathematischen, chaotischen Systemen zeigt, dass das vielleicht im Prinzip gilt, aber dass diese Kenntnis niemals genau genug eingenommen werden kann, um alle Systeme voraussagen zu können. In vielen Zusammenhängen sind Theorien, die Zufallsbegriffe benutzen, sehr viel einfacher und testsicherer als Modelle, die Determinismus oder Schicksal benutzen. Selbst wenn es also das Schicksal gibt, würde ein Mathematiker sagen, dass ihm diese Information nichts nützt.

Mit Christof Schütte sprach Andrea Schorsch.

aus: n-tv.de/wissen